Yoel Rodríguez comenzó a jugar al fútbol en el Colegio Hogar San Roque de Vigo antes de ingresar en la cantera del Celta, donde continúa su formación como portero. Su buena progresión le permitió debutar con el equipo filial siendo muy joven, con 17 años, en la Segunda División B. Lo hizo en la 31ª jornada de la temporada 2005-2006, contra el Pájara-Playas, y se mantuvo como titular durante el resto de la campaña. Se mantuvo en el segundo equipo durante tres años más, con una progresión que le permitió ir de menos a más hasta lograr ser titular indiscutible en la temporada 2008-2009, habiendo completado 58 encuentros en los que encajó 59 goles.

Tras sus buenas actuaciones en el filial celeste, el club decide contar con él como miembro de la primera plantilla para la temporada 2009-2010, con un contrato de 3 años. Su debut con el primer equipo se produce en la Copa del Rey, el 2 de septiembre de 2009, ante el Real Unión de Irún. Sin embargo, no es hasta el 20 de marzo de 2010 cuando debuta en Segunda División en el partido frente al Cartagena. En la temporada 2011-2012, comparte la titularidad con Sergio Álvarez, aunque una lesión a finales de la campaña le impidió jugar los partidos decisivos en los que el Celta consiguió cinco años después el ascenso a Primera División. Hasta entonces, Yoel había encajado 57 goles en 53 partidos con el primer equipo celeste.

Sin embargo, para el retorno a Primera, el Celta decidió fichar a Javi Varas y mantener a Sergio como porteros del primer equipo, por lo que Yoel marcha cedido al Lugo, de la Segunda División. En el equipo lucense se convierte en titular realizando grandes actuaciones que a punto están de llevar al equipo a la máxima categoría, encajando 36 goles en 33 partidos. Tras su cesión, en junio de 2013, el meta regresa al Celta, debutando en la primera jornada ante el Espanyol, y logrando convertirse en el portero titular durante toda la campaña bajo las órdenes de Luis Enrique, y convirtiéndose en uno de los porteros revelaciones de la Liga (52 goles encajados en 35 partidos).

El 31 de julio de 2014, y tras la salida de Vicente Guaita al Getafe, se hace oficial su incorporación como cedido al Valencia CF por una temporada. Yoel comenzó la temporada como suplente de Diego Alves, pero el 19 de octubre, en la 8ª jornada, debutó por lesión del brasileño frente al Deportivo de La Coruña, con derrota por 3-0. Regresó a la suplencia en liga pero fue el portero elegido para la Copa del Rey, por lo que terminó jugando 6 partidos oficiales en los que encajó 11 goles. No volvió a jugar hasta la última jornada de liga, cuando tuvo que entrar en el decisivo partido frente a la UD Almería en sustitución de Alves que sufrió una grave lesión. En aquel recordado partido, el Valencia logró la victoria y la clasificación para la Champions League.

Durante el verano de 2015 el club contrató al meta australiano Mathew Ryan, y Nuno eligió a Jaume Doménech como segundo portero. Con un pie fuera del equipo, una lesión de Ryan, hizo que Yoel permaneciera en el Valencia hasta el mercado de invierno, cuando marchó cedido al Rayo Vallecano, con el que encajó 27 goles en 11 partidos, en un curso en el que el equipo madrileño terminó perdiendo la categoría. En julio de 2016 Yoel vuelve a salir cedido, esta vez al Éibar, que al final de la temporada ejerce su opción de compra definitiva. En su primera campaña, el portero completa 30 partidos con el conjunto vasco, en los que encaja 39 goles. En su segunda temporada, únicamente participa en un partido ya que sufre una gravísima lesión que le mantiene más de seis meses fuera de los terrenos de juego. El 30 de agosto de 2018 se hizo oficial su cesión hasta final de temporada al Real Valladolid.