Nacido en Jerez de la Frontera, Enrique Romero comenzó su carrera deportiva muy cerca de su localidad natal, en el Atlético Sanluqueño, de la ciudad de Sanlúcar de Barrameda, en la provincia de Cádiz. Allí disputó 37 partidos de Liga en la Segunda División B entre 1989 y 1991. Ese verano, cuando sólo contaba con 20 años de edad, fue fichado por el Logroñés para jugar como extremo izquierdo en Primera División. Allí permaneció durante tres temporadas, en las cuales fue reciclándose como lateral. Fue alternando sus apariciones con el Logroñés B en Segunda B, y su progresión fue de menos a más.

Especialmente llamativa fue su última temporada, donde un brillantísimo final de Liga de 1994 le permitió fichar por el Valencia CF. En Mestalla completó tres buenas temporadas en el lateral zurdo. Se trataba de un jugador muy profesional y con mucha fortaleza física. Su altura imponía a los extremos rivales y, aunque se mostraba algo desgarbado sin el balón, cuando conducía la pelota mostraba una impresionante elegancia. Todavía se recuerda en Mestalla una arrancada contra su ex-equipo, el Logroñés, en la que tras un slalom en el que regateó a media defensa rival, marcó un gol antológico.

En el Valencia se hizo en propiedad con el lateral y completó la nada desdeñable cantidad de 118 partidos oficiales, en los que llegó a marcar cinco goles. Era un jugador apreciado por la grada, pero la llegada de Jorge Valdano provocó su salida, junto a casi otro tercio de la plantilla, al RCD Mallorca. Nadie llegó a entender su traspaso, sobre todo porque no había un recambio de garantías, pero lo cierto es que se marchó, y en las islas se revalorizó tras una magnífica campaña que le permitió fichar por el Deportivo de la Coruña, donde vivió sus mejores años.

En Coruña se convirtió en un fijo de las alineaciones durante ocho temporadas, desde los 27 hasta los 34 años, dando un excepcional rendimiento en la que fue, probablemente, la mejor etapa en la historia del club gallego. Conquistó una Liga, una Copa y dos Supercopas de España, y participó en cinco ediciones de la Champions League. En el verano de 2006, marchó al Real Betis para finalizar allí su carrera deportiva.