Nacido en la ciudad serbia de Kraljevo, Uros Racic comenzó a jugar al fútbol junto a su hermano gemelo Bogdan Racic en la escuela Knjaz de su localidad natal. Tras pasar tres años en la academia Altina de la localidad de Zemun, cercana a Belgrado, ingresó en las categorías inferiores del Sloga de Kraljevo, pasando posteriormente por el Sloboda Cacak antes de fichar por el OFK de Belgrado. Tras dos años el equipo juvenil, en la temporada 2015-2016 Uros alterna convocatorias con el primer equipo y en marzo de 2016 firma un contrato de 3 años con el Estrella Roja de Belgrado.

En el verano de 2016, el centrocampista realizó la pretemporada a las órdenes del técnico Miodrag Bozovic, y durante la temporada participó en 8 partidos de Liga y 2 de Copa. El siguiente curso fue el de su consagración, convirtiéndose en titular indiscutible y adquiriendo un gran protagonismo en el equipo. Racic completó un total de 34 partidos oficiales, marcando 3 goles y dando 2 asistencias, proclamándose campeón de Liga por segundo año consecutivo. Al finalizar el curso, su evolución no pasó desapercibida para los grandes clubes europeos, y al quedarle sólo un año de contrato el Valencia CF aprovecha para hacerse con su fichaje a cambio de 2 millones de euros.

Uros realiza la pretemporada con el equipo de Marcelino y participa en cuatro partidos amistosos, incluyendo el trofeo Naranja. Pese a su buen rendimiento, la competencia en el centro del campo es grande, y el futbolista apenas entra en las convocatorias del primer equipo, por lo que inicialmente se une a la plantilla del Mestalla, con el que juega 15 partidos y marca un gol. Debuta con el primer equipo en competición oficial el 4 de diciembre de 2018, en partido de Copa del Rey contra el Ebro, pero el 14 de enero de 2019 el futbolista se marcha cedido al CD Tenerife, de la Segunda División, en busca de más minutos y experiencia.