Nacido en la capital de Austria, Kurt Welzl inició su carrera como futbolista en 1972, jugando para para el Wiener SC. Allí permanece hasta 1974, cuando ficha por el Wacker Innsbruck, donde juega cuatro temporadas como delantero. En 1979 emigra a los Países Bajos para unirse el AZ Alkmaar, donde se destapa como goleador, con 20 goles y 8 asistencias en 42 partidos oficiales, convirtiéndose en la estrella del conjunto holandés y en bota de plata del fútbol europeo. Fijo en las convocatorias de su selección, es entonces cuando el Valencia llama a su puerta.

Welzl llega al Valencia con 27 años, en el verano de 1981, rodeado de un ambiente de expectación debido a sus buenos registros en la Liga holandesa. Sin embargo, nada de eso se vio. Mestalla se encontró con un jugador cuya forma estaba lejos de lo esperado. En su primera temporada marcó 9 goles en 27 partidos de Liga, y el rendimiento estuvo por debajo de las expectativas, por lo que la paciencia de la grada terminó fue agotándose poco a poco. Ese verano, sin embargo, hizo un formidable papel con su selección en el mundial de España de 1982, marcando un gol antológico a Argelia.

Pasado el mundial, Welzl iba a quedar fuera de la plantilla por el regreso de Mario Alberto Kempes, pero la lesión de Arnesen le permitió gozar de una segunda oportunidad. No fue una temporada fácil, eran malos tiempos y el Valencia salvó la categoría en el último partido contra el Real Madrid en Mestalla. El austríaco tampoco aportó mucho ni en juego ni en goles, marcando sólo tres en 15 apariciones en Liga, por lo que finalizada la temporada, marchó al Gent belga, dejando tras de sí la eterna incógnita acerca de su bajo rendimiento en Mestalla.

En 1984, Welzl ficha por el Olympiakos griego, y la temporada siguiente regresa a Austria, donde pasa por el Wacker Innsbruck, Swarovski Tirol, Grazer AK y SV Spittal antes de anunciar su retirada del fútbol en activo en 1988.