Hermano pequeño del mítico Pep Claramunt, Enrique llegó a la élite del fútbol español por méritos propios. Formado en la cantera del Mestalla tras haber pasado por Atlético Saguntino y Torrent, se convirtió en un magnífico interior derecho, veloz y hábil con el balón en los pies y, además, con capacidad de llegada y mucho gol en sus botas. Debutó a los 20 años en el equipo filial de la mano de Lelé Santiago, el 8 de septiembre de 1968, en Balaídos frente al Celta. Su temporada fue formidable, con 18 partidos y un gol, y aunque el equipo descendió de categoría, el siguiente curso le sirvió para forjarse y ganar experiencia.

En 1970 fue ascendido al primer equipo por Alfredo Di Stéfano, que acabó maravillado por sus cualidades y su juego. Se trataba de un futbolista de mucha clase pero, además, valiente. Pugnaba cada balón sin contemplaciones y sin importarle apenas su integridad física. Cogía el balón y encaraba la portería sin contemplaciones, marcando goles muy importantes para la consecución de aquella histórica Liga y convirtiéndose en un jugador tan importante, que apenas se le comparó con su hermano. Comenzó su segunda temporada como titular, pero una gravísima lesión frente al Betis el 29 de octubre de 1972 le mantuvo fuera de los terrenos de juego durante 5 meses, reapareciendo a base de mucho sacrificio media temporada más tarde precisamente contra el Betis.

Pese a su voluntad y tesón, Claramunt ya no recuperó su mejor forma tras la lesión, y su participación con el equipo fue disminuyendo cada año. En el verano de 1974, conciente de su situación en el equipo, aceptó una oferta del Castellón para defender la camiseta albinegra durante dos temporadas en la Segunda División. Allí completó 47 partidos oficiales a un muy buen nivel, anotando 6 tantos. La temporada siguiente marchó al Villarreal, donde puso punto final a su carrera deportiva. Una vez colgadas las botas, ejerció como preparador en el fútbol base de su localidad natal.