Nacido en Corbera y criado en la cantera del Valencia CF, Vicente Navarro ascendió por las categorías inferiores del club de Mestalla de forma meteórica, con una productividad goleadora extraordinaria, convirtiéndose en uno de los delanteros más prometedores de los equipos juveniles. Llegó al Mestalla en el verano de 1962, con 20 años y toda la ilusión del mundo. Su irrupción en el equipo filial fue sensacional, ya que esa temporada hizo 18 goles en 30 partidos de Liga en Segunda División, incluyendo cinco goles en un solo partido contra el Sevilla Atlético disputado el 23 de diciembre de 1962 en Mestalla. Sus magníficas cifras se mantuvieron en el siguiente curso, marcando 16 goles en 23 partidos, y consiguiendo de nuevo un repóquer de goles, esta vez contra el Algeciras, el 18 de abril de 1964.

La prometedora trayectoria de Vicente Navarro hizo que Mundo no dudara en ascenderle al primer equipo en el verano de 1964. Tanto la afición como la crítica periodística tenían puestas sus esperanzas en un futbolista que había asombrado por su productividad goleadora en las categorías base. Su debut en primera llegó el 1 de noviembre de 1964, debido a la ausencia de Waldo, en la octava jornada de Liga contra el Elche, y no pudo ser más brillante. El Valencia ganó 5-0 y Vicente marcó tres de los goles en sólo 14 minutos. Además, provocó el penalty y el rechace que generaron los otros dos goles del equipo. Fue un debut antológico, que posiblemente se volvió en su contra ya que generó unas expectativas excesivamente elevadas para un jugador que acababa de cumplir los 22 años.

Vicente continuó marcando goles aquella campaña, pero con una productividad más razonable. Su mayor problema era que Waldo era propietario del «9» en exclusividad, y esto desplazaba a Navarro a posiciones de interior y extremo, donde no podía desplegar en total plenitud su juego de delantero centro nato. A pesar de ello, marcó 9 goles en 13 partidos de Liga, cumpliendo sobradamente en su temporada de debut, especializándose en el lanzamiento de penalties con un disparo tiro duro y raso al que el portero no podía llegar.

Su segundo año en el Valencia fue más complicado, sobre todo porque Sabino Barinaga apenas confió en él. Jugó sólo cinco partidos de Liga en los que marcó un gol y el fichaje de Fernando Ansola en el verano de 1966 le terminó de convencer y decidió que la mejor opción era buscar suerte en otro equipo. Fichó por el Hércules, recién ascendido a Primera, con el que vivió dos descensos consecutivos. Permaneció en Alicante hasta junio de 1968, año en el que fichó por el Levante. Curiosamente, el Levante estaba construyendo su estadio y disputó sus encuentros de Tercera División en Mestalla. Lamentablemente, Vicente Navarro sufrió una lesión que le impidió disputar el tramo final del Campeonato y el equipo se quedó a las puertas del ascenso a Segunda. La temporada siguiente permaneció en el equipo granota y fue él quien marcó el primer gol oficial en el nuevo estadio inaugurado en septiembre de 1969. En 1970, Vicente se trasladó a Mallorca para jugar con el Poblense, equipo con el que colgaría las botas para convertirse en entrenador.