Riojano de nacimiento, Roberto Navajas se formó como guardameta en las categorías inferiores de la Real Sociedad de San Sebastián, equipo en el que militó durante cinco temporadas, pasando por el Easo, juvenil de División de Honor y el San Sebastián, filial del equipo donostiarra con el que debutó en Segunda División B a los 18 años, completando un total de 29 partidos en los que encajó 39 goles. Llegó a ser convocado con el primer equipo durante una lesión Luis Miguel Arconada, pero no llegó a debutar.

A los 19 años, en el verano de 1987, fue traspasado al Valencia, que acababa de ascender a Primera División tras una dura temporada en Segunda. Permaneció en el club de Mestalla una temporada bajo la sombra de Sempere y Serna, por lo que apenas dispuso de oportunidades y, al igual que en la Real Sociedad, pasó la mayor parte del tiempo en el banquillo. Sólo llegó a disputar un partido amistoso de pretemporada, el 28 de julio de 1987 contra el Burriana, por lo que finalizada la temporada, buscó mejores oportunidades.

Comenzó a partir de entonces una larga trayectoria como guardameta pasando por Xerez, Mollerusa, Ceuta, Mérida, Alcira y Estados Unidos (California y Jalisco), llegando a disputar más de medio centenar de partidos en la categoría de plata. Finalizó su carrera el filial del Deportivo Alavés, en la temporada 1994-1995, anunciando su retirada tras sufrir dos graves lesiones, una de hombro y otra de rodilla, sin haber cumplido todavía los 30 años.

Una vez abandonada la práctica del fútbol Navajas se dedicó a la preparación de porteros. Con el título de entrenador nacional de nivel 3, creó una escuela de fútbol su ciudad natal antes de entrenar a los guardametas del Alfaro y el Logroñés CF, en Segunda B. Posteriormente firmó con el Alavés antes de regresar a la Real Sociedad como preparador de porteros del primer equipo, donde permaneció hasta 2015. En octubre de 2016 se incorporó al staff técnico del Granada.