Suecano de nacimiento, Antonio Dasí se formó en las categorías inferiores del Valencia CF, jugando con el Mestalla en Segunda División B desde 1992 hasta 1994 como defensa central. Durante esa época, consigue debutar con el primer equipo en dos partidos amistosos, celebrados el 13 de noviembre de 1993 en el estadio de Anoeta, con motivo del Trofeo Concha Donostia. Sin embargo, no tuvo muchas más opciones en una temporada muy movida, por lo que al finalizar la misma, firmó por dos temporadas con el Villarreal, donde rindió a buen nivel en Segunda División.

En 1995, Antonio Dasí firma con el Terrasa, donde permanece tres temporadas antes de firmar con el Gavá, también en Segunda B. Posteriormente pasa por el Ontinyent, la UD Tavernes y la SD Sueca antes de colgar definitivamente las botas.