Nacido en Quilmes, Argentina, Alejandro Damián Domínguez, conocido futbolísticamente como «Chori» Domínguez, comenzó en las categorías inferiores del Club Atlético Lanús, donde destacaba en las posiciones de delantero y centrocampista ofensivo. Llegó al Quilmes Atlético en 1999, cuando tenía 18 años. Entre ese año y 2001 marcó 7 goles en 67 partidos, y dio 13 asistencias, por lo que rápidamente llamó la atención de los grandes clubes locales. Fichó en 2001 por River Plate, donde jugó hasta 2004. Allí hizo 15 goles y 19 asistencias en 73 partidos, y se proclamó campeón en dos ocasiones.

En el año 2004, da el salto a Europa y ficha por dos temporadas con el Rubín Kazán de la Liga de Rusia. En las tres temporadas en las que permanece en el club, Domínguez logra 25 goles y 33 asistencias en 76 partidos, siendo uno de los jugadores más destacados de la liga rusa. En el verano de 2007, es fichado por el multimillonario Zenit de San Petersburgo, que paga 7 millones de euros por él. Juega allí dos temporadas, tras las cuales vuelve al Rubin Kazan, donde tuvo excelentes actuaciones, que llamaron la atención de importantes equipos europeos.

En diciembre de 2009, tras finalizar su contrato con el Kazan, firma por el Valencia CF por tres temporadas. El paso de Chori Domínguez por el Valencia no fue todo lo satisfactorio que se esperaba. Sus problemas con el técnico, Unai Emery, no le permitieron entrar con regularidad en las alineaciones. En las dos temporadas que estuvo en Mestalla, jugó 30 partidos oficiales y sólo marcó un gol, en la victoria por 6-1 contra el Bursaspor en partido de la Champions League. El jugador, falto de motivación y oportunidades, negoció con el Valencia buscar una salida.

Tras el histórico descenso de River Plate a la Segunda División Argentina en 2011, Chori expresó su deseo de volver al club argentino para ayudar al equipo a volver a la élite, por lo que marchó cedido al club de los millonarios. Al final de la temporada, se consigue el objetivo, pero tras una polémica pelea entre Matias Almeyda y Daniel Passarella, Domínguez, junto a Fernando Cavenaghi desaparecen de las alineaciones y deciden salir del equipo. En el verano de 2012, dado que tampoco entraba en los planes del Valencia, se le concede la carta de libertad y ficha por el Rayo Vallecano.

El verano siguiente, se hace oficial su llegada al Olympiacos FC, también con la carta de libertad. Tras cuatro temporadas en el club griego, con un notable rendimiento (40 goles en 127 partidos) y varios títulos en las vitrinas, se desvinculó del club en junio de 2017, volviendo de nuevo al Rayo Vallecano.