Daniel Wass nació en Gladsaxe, una localidad cercana a Copenhague en la isla de Zealand al este de Dinamarca. Durante la mayor parte de su infancia, jugó en el BK Avarta, un club amateur de la capital danesa, hasta que en 2006, a los 17 años, es fichado por los ojeadores del Borndby, uno de los principales clubes del país nórdico. Tras una breve estancia en el equipo filial, el futbolista da el salto al primer equipo, debutando en la Superliga danesa en la temporada 2007-2008 de la mano del técnico Tom Kohlert, disputando la mitad de los partidos, principalmente debido a una lesión. La campaña siguiente, Wass se adueñó del puesto de lateral derecho, completando 85 partidos, en los que marcó 8 goles, hasta el año 2011, incluyendo una breve cesión al Fredrikstad en 2009, donde marcó 1 gol en 3 partidos.

El 20 de mayo de 2011, una vez finalizado su contrato, Daniel firma por cinco años con el Benfica, que lo cede al Evian FC de la primera división francesa. Su rendimiento bajo las órdenes del técnico francés Bernard Casoni fue excelente, marcando 4 goles en 29 partidos, por lo que el verano siguiente el club francés ejercitó su opción de compra por 1,2 millones de euros para quedarse al jugador en propiedad. Allí permanece tres cursos más, totalizando 104 apariciones en las que anota 19 tantos. En julio de 2015, el Celta de Vigo firma al futbolista danés abonando 3 millones de euros al club francés.

Daniel Wass debuta en la Liga Española con el conjunto de Eduardo Berizzo el 23 de agosto de 2015 contra el Levante. Pronto se convierte en fijo de las alineaciones del técnico argentino, siendo uno de los jugadores más destacados del equipo gallego, destacando por su exquisita técnica y trato de balón, su velocidad y su polivalencia para ocupar diferentes posiciones en el terreno de juego. Es, precisamente, esa polivalencia, la que llama la atención de Marcelino García Toral, entrenador del Valencia CF, que propone su fichaje en el verano de 2018. Wass llegó a Mestalla a cambio de 6 millones de euros, después de haber defendido la camiseta celeste en 136 partidos oficiales, en los que anotó 14 goles.