Abelardo comenzó a jugar al fútbol en El Entrego, pueblo asturiano cercano a Sotrondio, su localidad natal, y que con Blimea se unieron administrativamente en 2007 para formar la ciudad de San Martín del Rey Aurelio. Allí se formó como guardameta en categorías infantiles y alevines antes de pasar a las categorías inferiores del Langreo. Su buena progresión le permitió debutar con el primer equipo en la Segunda División B sólo unos días después de haber cumplido los 19 años, en la primera jornada de Liga contra el Europa. Dos años después, el meta había conseguido la titularidad y se había convertido en uno de los porteros más prometedores de la división de plata, tras haber encajado 62 goles en 42 partidos.

Llegó a Valencia en mayo de 1965, debutando en casa nada más llegar en un amistoso contra el Sheffield Wednesday. Tenía sólo 20 años y venía para competirle el puesto nada menos que a Pesudo, por lo que apenas pudo participar en amistosos sin trascendencia durante su primer curso. Sin esperarlo, le tocó debutar oficialmente en plena batalla contra el Leeds en Inglaterra, en los cuartos de final de la Copa de Ferias, cuando una lesión del titular le puso sobre el césped de Elland Road a cinco minutos del descanso. Lejos de amilanarse, el cancerbero cumplió con creces, y el Valencia arrancó un valioso empate de Inglaterra. Luego jugó toda la Copa del 67, final y título incluidos, y hasta la llegada de Di Stéfano fue alternando titularidad con Pesudo.

La Liga del 71 supuso el encumbramiento de su carrera. En una prodigiosa temporada del equipo a nivel defensivo, fue el portero menos goleado de Primera División con 19 goles en 30 partidos. Sus míticos vuelos en la portería de Mestalla y sus paradas decisivas, como el penalty a Martí Filosía en el Camp Nou, le permitieron mantenerse imbatido durante siete jornadas consecutivas, rompiendo todos los registros de la entidad. Se trataba de un portero ágil, eficaz en el juego aéreo e infranqueable por los ángulos. Pero más allá de sus cualidades como guardameta, se erigía en un líder para su defensa. Fue varias veces convocado con la selección española durante aquella gloriosa campaña, pero no llegó a debutar ya que la titularidad no se le discutía a Iríbar.

Tras las finales de Copa de 1970 y 1971, comenzaron las dudas para Di Stéfano, que empezó a alternar su titularidad con la de Meléndez hasta que en 1974 se le dio la baja tras haber defendido la portería valencianista en casi 200 ocasiones y se marchó al Sporting de Gijón, entrenado por Pasieguito, donde encajó 28 goles en 23 partidos durante dos temporadas. Una vez colgadas las botas, Abelardo, como casi todos los jugadores que pasaron parte de su carrera en Mestalla, volvió a Valencia para convertirse en entrenador de porteros del primer equipo, ayudando también a las jovenes promesas en la escuela de futbolistas Crack's.

Abelardo falleció el 5 de mayo de 2021, a los 76 años de edad.