Líbero Parri Romero nació en Burjassot y se formó en las categorías inferiores del Valencia CF. Se trataba de un centrocampista ofensivo que siempre destacó por su buena técnica y entrega, pero que nunca llegó a encontrar su sitio en el primer equipo. Era una de las joyas de la cantera a finales de los 90, y llegó al Mestalla en 1998. Con tan solo 16 años debutó en Segunda División B, el 6 de septiembre de 1998 contra el Figueres. La temporada siguiente, la 1999-2000, se marchó cedido al Villarreal, disputando con el conjunto castellonense un total de 27 partidos en Segunda, en los que marcó tres goles.

Parri había sido internacional en todas las categorías inferiores, proclamándose Campeón de Europa Sub-16, Campeón de la Meridian Cup Sub-17, y consiguió la tercera posición en el Europeo Sub-18. En el verano de 2000 se incorporó a la disciplina de la primera plantilla, pero pese a ello, las grandes figuras del equipo en su puesto apenas le dejaron jugar. Debutó en partido oficial en la Champions League, el 25 de octubre de 2000, contra el Olympiakos. Jugó un total de cuatro partidos antes de marcharse cedido en enero de 2001 al Elche CF.

En las siguientes temporadas, ningún entrenador del Valencia contó con él y marchó cedido al Numancia (2001-2002), Albacete (2002-2004) y Racing de Santander (2004-2005). En el verano de 2005, Parri se desvinculó definitivamente del Valencia y firmó con el Albacete Balompié, club en el que vivió sus mejores años como futbolista desde 2005 hasta 2007, marcando 16 goles en los 58 partidos jugados en Segunda. En 2007 fue fichado por el Cádiz y al año siguiente, tras el descenso a Segunda B de los andaluces, marchó cedido al Levante, donde comenzó siendo titular indiscutible. Durante la temporada, cada vez careció mas de protagonismo y firmó por el Gimnàstic de Tarragona, donde disputó la temporada 2009-2010 y se retiró al finalizar la campaña.