Media punta zurdo del filial valencianista, Carlos Bellvis Llorens, «Chispa», tuvo su oportunidad en el verano de 2005, al sustituir a Xisco en el viaje que realizó la expedición del Valencia CF a Ermelo (Holanda) para realizar el Stage de pretemporada. Sin embargo, el fichaje de Mario Regueiro le cerró las puertas y volvió al equipo filial. Con el primer equipo, únicamente disputó un partido amistoso frente al Villarreal.

En el verano de 2006, el Elche CF y el Valencia CF llegaron a un acuerdo para la cesión del jugador. En el club ilicitano permaneció dos temporadas, en las que fue titular indiscutible, jugando 72 de los 84 partidos de Liga y marcando cuatro goles. Aunque el Elche intentó renovarle, finalmente, en julio de 2008, el Valencia decidió cederlo al Numancia, recién ascendido a Primera, reservándose una opción de repesca sobre el jugador.

Bellvis debutó en Primera el 31 de agosto de 2008, en la primera jornada de Liga contra el FC Barcelona que terminó con victoria soriana. Sin embargo, el Numancia terminó perdiendo la categoría y Bellvís, aunque no logró hacerse con la titularidad, disputó 28 partidos y anotó un gol. No obstante, pudo seguir en Primera ya que el 3 de julio de 2009 el Valencia anunció su pase al CD Tenerife, con un contrato por tres temporadas, hasta 2012. Empezó como titular, pero con el paso de las jornadas bajo el nivel y parte de la primera vuelta y la segunda tuvo un papel más bien secundario. El 17 de agosto de 2011 ficha por el Real Club Celta de Vigo.

El 30 de enero de 2014 se oficializó su fichaje por la Sociedad Deportiva Ponferradina, por un año y medio. Tras acabar contrato y quedar libre, el 4 de agosto de 2014 ficha por la Agrupación Deportiva Alcorcón.